2002/06/25
あみだくじの話１
あみだくじは不公平だという記事を読みました。
これはパスカルの三角形の定義によるもので、（ａ＋ｂ）のｎ乗の各項の係数を並べると、真中が一番大きくなるという理論です。この理論から、完全二分岐は中心に集約されるという解が導かれます。もう少し判り易く説明しましょう。コインを投げて表が出たら−１し、裏が出たら＋１するというのを２回行ったら数字は幾つになりやすいか、というのを考えます。コインの組み合わせとしては表表、表裏、裏表、裏裏がありますが、それぞれ−２、０、０、＋２となり、数字が変わらない可能性が一番高いのです。これを４回行った場合は、−４が１回、−２が４回、０が６回、＋２が４回、＋４が１回となりますから、やはり数字が変わらない可能性が高いことになります。これをあみだくじに適用すると、あみだくじで現在居る列から左に行くか右に行くかが等しい確率で発生するため、上のように列の移動が０になる、つまり真下に行く確率が高いということになります。しかし、これは本当に本当なのでしょうか？単純化するために列は３列としましょう。まず、第一の問題としては、あみだくじは分岐の回数が全ての列で等しいわけではないということです。３列しかないあみだくじの左と真中の間に３本の線を引き、それよりも上に真中と右に１本の線を引いた場合、それぞれの列は何回線を通るでしょうか。左側の列は３回通りますし、真中の列は１回しか通りませんし、右の列は４回通ります。つまり二項定理のパスカル三角形とは異なる数列になり、その列は（ａ＋ｂ）＋（ａ＋ｂ）の二乗＋・・・＋（ａ＋ｂ）のｎ乗（ｎは最大通り得る線の個数）となるはずです。コインを投げた場合で考えると、３回のトスなら±３、±２が各１回、±１が各４回、０が２回となり、０回になる確率は決して高くありませんし、４回のトスなら±４、±３が各１回、±２が各５回、±１が各４回、０が８回という、ちょっと変則的な分布になります（コイントスが０回というのは、あみだくじにおいて有り得ないため想定していない）。
続きます。
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